Li'IA e la joie des mathématiques

Il sent en lui la joie obscure de l’abîme ; Il subit, accablé de soleils et de cieux,

L’inexprimable horreur des lieux prodigieux. Il regarde, éperdu, le vrai, ce précipice.

La découverte du Titan (Victor Hugo, La Légende des Siècles)

Le Titan Phos veut s’échapper de sa prison. Il creuse vers les profondeurs, déplace un rocher, et découvre, aveuglé, l’autre côté de la Terre : l’infini, la vérité cosmique, l’abîme. Il est épouvanté de voir ce que personne ne vit jamais…

Ce que le titan Phos a vécu dans le poème de Victor Hugo, la quasi-totalité des mathématiciens l’a vécu le mois dernier, à divers degrés de sidération, et moi le premier.

Les signes de la supériorité des grands modèles de raisonnement ¹ (LRM) sont apparus au printemps, avec la résolution de quelques conjectures qu’on pouvait imprudemment qualifier de secondaires ; puis durant l’été, des conjectures sérieuses étaient résolues chaque jour, jusqu’à l’annonce d’une solution au problème de Navier-Stokes. Le désastre polémique autour de cette annonce a suspendu celles qui devaient suivre, retardant le climax d’un bon mois. OpenAI a finalement commis l’irréparable le 6 octobre, révélant des propositions de solutions à plus de 350 conjectures. Les démonstrations sont réparties dans plus de 700 articles.

Il n’y a rien d’exagéré à dire que le 6 octobre 2026 est la date la plus importante de l’histoire de notre discipline. Il n’y aura pas de retour en arrière. L’humble piéton des mathématiques que je suis ne s’est pas privé d’admirer le spectacle : en un laps de temps très court, la frontière des connaissances a bondi de plusieurs dizaines d’années dans le futur, et nous n’avons pas encore touché terre. Un collègue prédit que, dans quelques années, on se demandera : « Et toi, tu te souviens de ce que tu faisais le 6 octobre ? ». Dans quelques décennies, nous radoterons au coin du feu à propos des 300 conjectures de 2026 : pour l’instant, profitons du moment, battons le fer tant qu’il est chaud, et préparons nos souvenirs. Quel fut le premier sentiment qui suivit la sidération ? Je crois savoir ma réponse. Elle est inavouable, mais je sais qu’elle est partagée bien au-delà de ma personne.

Pour moi, l’instant de sidération était arrivé plus tôt, au moment de la solution au Unit Distance Problem en mai. Mais aussitôt après, je ressentis un vrai soulagement, et une sensation de liberté retrouvée. J’espère que ce récit rendra l’aveu moins indécent à ceux qui sont actuellement rongés par la morosité.

Parlons un peu de la sidération, celle de découvrir parmi nous des systèmes non-humains et meilleurs dans tous les domaines des mathématiques. La question de savoir si mon domaine est « touché » m’est souvent posée ; certains chercheurs de premier plan ont fait part avec émotion de l’annihilation de toutes leurs perspectives de recherche, tandis que d’autres semblent « épargnés ». Mais la question n’est pas pertinente : il est plus prudent de supposer qu’à l’avenir toutes les conjectures actuelles vont être résolues par des LRM, plutôt que de supposer le contraire.

C’est pourquoi certains chercheurs ont la tristesse des grands deuils. Dans les couloirs de laboratoire, l’ambiance est parfois d’une noirceur terrible, alors que d’habitude les mathématiciens sont plutôt d’humeur bonhomme et enjouée autour de leur machine à café. Une partie de l’angoisse tient au fait que personne ne sait dire exactement ce qui vient de mourir. Une certaine façon de faire des mathématiques est morte et il faudra l’enterrer avec les honneurs. Et après ? Que devient une discipline quand la production de ses résultats, pilier de son système de valeurs, n’est plus limitée par la rareté ? Toute la communauté se penche actuellement sur ces questions. Pour une discipline unie par l’amour de la résolution de questions difficiles, je trouve que nous sommes bien lotis.

En finir avec le Humanslop

Beaucoup partagent secrètement, et depuis longtemps, un léger dégoût à l’égard d’une façon de faire des mathématiques à laquelle ils se sont résignés : je veux parler de la production acharnée d’articles très longs, quasiment illisibles, et hautement techniques. Quelle est la valeur scientifique d’un résultat, quand sa seule démonstration fait des centaines de pages, n’a été lue (ou prétendue lue) que par une poignée de mathématiciens, et que personne ne fera jamais

l’effort d’y revenir ? La résolution d’un problème n’épuise pas sa valeur. La difficulté du problème résolu n’aurait jamais dû être le critère de jugement dominant d’un travail.

Une des solutions aux conjectures du 6 octobre court sur treize articles, totalisant plusieurs centaines de pages visiblement mal écrites. C’est absurde. Mais cette situation est-elle vraiment inédite ? C’est un état de fait déjà ancien, une crise que nous avions appris à tolérer sans la résoudre. Le système nous poussait à produire des textes épuisants pour tout le monde, leur auteur et leurs lecteurs, au prix d’un immense gâchis de temps et de talent. Nous passions des heures à faire des tâches ingrates, à écrire la démonstration de lemmes techniques peu intéressantes mais nécessaires, à vérifier des calculs plusieurs fois, à écrire des détails abscons que personne ne lirait jamais. Nous n’aurions jamais dû nous habituer à cela : je propose d’appeler cette production humanslop.

Que certains de ces textes résolvent des conjectures jugées importantes, je le conçois ; certaines démonstrations longues et difficiles sont des chefs-d’œuvre… Mais certaines seulement. La logique a ses limites et les articles d’OpenAI le montrent. De mon point de vue, il n’y a pas de différence entre certains papiers aislop et d’anciens papiers humanslop.

Le paradoxe, c’est que les LRM seront à la fois le poison et l’antidote : d’un côté, ils produisent une caricature de cette science à bout de souffle, qui excrète des pages et des pages de mathématiques absconses dans le seul but de démontrer un résultat prestigieux.

Et de l’autre, les LRM sont capables de trouver les bons raccourcis et les preuves vraiment efficaces et belles, qui permettent de court-circuiter les démonstrations existantes que personne ne lira. J’ai été frappé par un exemple donné par Hugo Duminil-Copin : dans un article de 2020 publié dans un journal prestigieux ², lui et des co-auteurs exposent une solution partielle à une conjecture. Elle faisait déjà quelques dizaines de pages : en mai, un LRM a produit une démonstration du cas général, d’une grande élégance, tenant en deux pages bien aérées et complètes. La recette était une « analogie de longue distance », c’est-à-dire un lien entre deux théories que personne n’avait vu : un domaine dans lequel les IA excellent.

Dans ces conditions, comment ne pas être enthousiaste ? Comment ne pas louer une telle avancée ? Comment ne pas espérer que nous pourrons enfin nous débarrasser d’une partie des articles humanslop des cinquante dernières années, ces articles importants parce qu’ils démontrent des résultats importants, mais longs, mal écrits, incompréhensibles, et qui à la fin font l’effet de repoussoirs alors qu’ils devraient être des poèmes ?

Ces derniers mois peuvent sembler me donner tort, comme le montre le triste spectacle d’Arxiv. C’est un site où les chercheurs publient leurs articles en libre accès, avant de les soumettre à des journaux. Arxiv est un pilier de la circulation ouverte des savoirs, et un outil indispensable à notre communauté. Au début de ma thèse en 2016, mes directeurs me conseillaient de regarder, tous les jours, la section des probabilités (mon domaine), comme on regarderait les nouvelles le matin. Il y avait à l’époque une petite dizaine d’articles par jour, ce qui était déjà beaucoup. Le rythme s’est lentement accéléré, puis a explosé en 2025. La semaine dernière, on comptait entre cinquante et cent publications par jour. C’est la ruée vers l’or : de nombreux chercheurs ont enfin obtenu via un LRM la solution d’une conjecture qui leur tenait à cœur. Beaucoup ont fait l’effort de produire de beaux articles utiles à la communauté, d’autres n’ont pas eu cette délicatesse et ont vulgairement jeté à la face du monde des torchons illisibles, bien que probablement justes (personne ne les lira), préfigurant ainsi les événements du 6 octobre.

Je n’y vois qu’une frénésie transitoire, où les nouvelles technologies cohabitent avec l’ancienne hiérarchie des valeurs, celle qui donnait une prime démesurée au premier découvreur d’une conjecture. Mais alors, où se déplacera la hiérarchie des valeurs ? Et que restera-t-il à faire, concrètement ?

À nous la liberté

Mon soulagement tient d’abord à une sensation de liberté retrouvée. Il y a quelques années, bien avant le 6 octobre, un collègue me confiait qu’il en avait assez de faire toujours les mêmes mathématiques. Il aurait bien aimé changer de sous-domaine, dialoguer avec d’autres sciences peut-être, mais pour la plupart d’entre nous, modestes travailleurs des mathématiques, le coût est élevé : plusieurs mois de travail, une éventuelle période de vide de publications, un vrai risque intellectuel, de grandes difficultés pour apprendre à parler aux chercheurs de cet autre domaine.

Cette résignation est plus répandue qu’on ne croit. Elle est une des causes de l’hyperspécialisation qui fragilisait notre discipline. Cette hyperspécialisation comportait des risques et il y en a un que nous payons cruellement : celui de voir beaucoup d’entre nous totalement dépossédés de ce à quoi ils avaient consacré leur énergie. Certains en profitent pour vilipender des « mauvais chercheurs » incapables de se recycler hors de leur pré carré : au-delà de l’idiotie du propos, c’est faux. On trouve à tous les niveaux des chercheurs très spécialisés et d’autres avec un spectre de savoir titanesque, qu’ils soient médaillés Fields ou pas.

Aujourd’hui, il y a un espoir pour que, tous ensemble, nous nous débarrassions de ces barrières à la circulation au sein des mathématiques et en dehors. Un peu de spécialisation est sans doute nécessaire, mais là, c’était devenu un problème. Les LRM nous aident à faire tomber ces barrières. Ils fluidifient l’accès au savoir. Ils connaissent les références de mon domaine et des autres, ils savent les points bloquants et les bonnes analogies, ils répondent vite aux questions. L’expérience des derniers mois montre qu’ils ne se substituent pas aux discussions scientifiques entre collègues, mais qu’ils les enrichissent. Il n’y a d’ailleurs pas besoin des modèles « de pointe » très onéreux pour cela.

Il faut aussi espérer un autre bénéfice, peut-être plus anecdotique mais certainement pas moins polémique, d’un affaiblissement de l’hyperspécialisation : celui de la fin des hiérarchies implicites entre disciplines. J’ai toujours été effaré de la morgue de certains confrères à l’égard de ce qu’ils prennent pour des « sous-mathématiques » (au hasard, l’analyse numérique ou la logique) par opposition à des mathématiques « nobles », « hautes », « vraies », etc. Nos collègues plus âgés se souviennent d’un temps où des grands noms de l’École Française jouaient les videurs aux portes du Temple des Mathématiques. Il faut reconnaître que cette morgue était en constant recul ces dernières années ; elle doit maintenant disparaître. En touchant indifféremment les probabilités, l’informatique théorique, les statistiques ou l’analyse numérique autant que l’arithmétique, la théorie des groupes ou la géométrie différentielle, les LRM auront, je l’espère, une certaine vertu égalisatrice qui ne fera de mal à personne.

Mais il y a une autre hiérarchie qui est concernée : celle qui sépare recherche et enseignement.

Navier et Stokes se déclarent solidaires des manifestations lycéennes

La hiérarchie du prestige académique ne valorise pas les tâches d’enseignement. Par exemple, les postes de recherche « pure » sans enseignement sont plus compétitifs et prestigieux. On peut toutefois se réjouir que des personnalités éminentes du milieu, comme des médaillés Fields ou autres médailles d’Or du CNRS, mettent en avant l’importance de l’enseignement et de la transmission du savoir. Les mathématiques sont un savoir fondamental et forment le langage des autres sciences, y compris de l’apprentissage automatique qui a donné naissance aux LRM : les besoins d’enseignement sont constants à tous les niveaux scolaires et universitaires, y compris à très haut niveau, pour des étudiants en thèse.

Ceci étant, les époques chaotiques appellent des prédictions débridées : il n’est pas interdit de penser que les IA puissent devenir, à terme, de bien meilleures pédagogues que les humains, surtout en mathématiques. Faut-il en déduire qu’à terme, les enseignants seront remplacés par « une vidéo en visio d’un jeune professeur impeccable et avenant, doté des meilleurs talents pédagogiques, et diffusé de façon simultanée à tous les étudiants de France », comme prédisait ironiquement un confrère ?

Rien n’est moins sûr : car même si c’était le cas, les étudiants eux-mêmes ne voudront pas remplacer leurs professeurs par des machines. Sans vouloir distribuer des lauriers, il me semble que dans beaucoup d’universités et de grandes écoles, les étudiants s’attachent à leurs professeurs, et réciproquement : l’aventure humaine fait partie des mathématiques et de leur enseignement. Michael I. Jordan, chercheur en informatique, l’a bien résumé : « People will decide in which areas they accept the use of LLMs and in which they don’t. They will decide when they want to interact with an LLM and when they prefer a human ». De nombreux lycéens manifestent publiquement leur désarroi : à écouter leurs revendications, on est vite convaincu qu’ils ont plutôt soif d’humanité, d’empathie, et de considération (qui sont des soubassements sans lesquels on n’enseigne pas grand-chose de durable) et certainement pas de plus d’IA générative.

D’ailleurs, la question se pose aussi dans l’autre sens : je ne voudrais pas remplacer mes étudiants par des IA auxquelles je devrais enseigner les mathématiques, ce qui aurait pourtant un certain nombre d’avantages.

J’ai perdu mon pari de Pascal

Une question demeure : y aura-t-il encore suffisamment de raisons de devenir mathématicien ? Allons-nous devenir une usine à professeurs qui ne chercheront plus rien ? La ligne de défense consistant à affirmer qu’il restera toujours des tâches de recherche que les machines ne sauront pas accomplir est extrêmement risquée. Rien n’interdit de penser que les LRM seront meilleurs que nous autres, humains, y compris pour produire de la compréhension humaine.

On entend de plus en plus une parade à cette crainte, sous la forme d’un pari de Pascal. C’est un argument qu’on retrouve souvent chez les techno-béats ³, qui ont d’ailleurs intérêt à paraître toujours plus fiers et conquérants qu’ils ne le sont réellement.

L’argument est le suivant. Nous sommes peut-être à l’aube d’un âge d’or des mathématiques, d’une explosion de connaissances sans précédent. Dès lors, pour celui qui est déjà dans la profession, le calcul est facile : si la recherche mathématique s’éteint, rester ne rapportera rien et ne coûtera pas grand chose non plus ; mais si elle connaît une véritable révolution, quel dommage d’avoir quitté le navire. Le calcul des espérances nous commande de rester. Seulement voilà : le pari de Pascal n’a jamais converti personne. C’est précisément pour cela que Pascal l’évoque, d’ailleurs. Je vois mal ce raisonnement convaincre un seul de mes collègues actuellement accablés d’incertitudes. Il ne m’a pas convaincu moi-même.

J’ai choisi une carrière dans les mathématiques parce que j’aime les mathématiques, et parce que j’ai la chance que ce goût personnel coïncide avec une activité jugée comme fort utile à la société, laquelle offre en retour des possibilités de carrières. Mon choix n’est pas si différent de celui d’un cuisinier qui aime cuisiner et qui trouve des gens à nourrir. Il faut se souvenir que, bien avant les LRM, la vocation mathématique était déjà un peu déraisonnable : beaucoup de mes collègues auraient consenti à des sacrifices considérables pour rester dans la profession. Les découvertes, les médailles, le prestige venaient s’ajouter à une passion qui les précédait. Je doute sérieusement que le pari de Pascal puisse convaincre qui que ce soit de rester dans les mathématiques, comme je doute que les motivations secrètes que nous avions tous pour nous engager dans cette voie aient disparu.

Hélas, notre liberté ne dépend pas seulement de nos motivations à nous.

Le Léviathan du Silicium et le Béhémoth du Savoir

À ce stade, il y a une crainte sur laquelle on ne peut pas faire l’impasse : qui produira les machines qui produiront le savoir mathématique, et qui choisira les conditions de leur accès ?

Tout le monde sait qu’OpenAI et Anthropic ne font pas des mathématiques pour l’amour des mathématiques, et que leurs intérêts ne coïncident pas avec ceux de notre communauté. Des médailles Fields ont exprimé cette défiance dans une lettre qui a beaucoup été commentée ⁴, parlant de désalignement fondamental.

La construction des LRM, ce Béhémoth du Savoir, est la réalisation technologique la plus importante, originale et inattendue que les humains aient accomplie jusqu’ici. Elle fut aussi la plus coûteuse. Quand un projet nécessite la mobilisation de capitaux astronomiques, à ces échelles inédites, il y a forcément de nombreux désalignements. Cette fois, ma communauté scientifique en fait directement les frais, et il y a fort à parier que nous ne serons pas les derniers. En cas de succès, le désalignement avec nos buts internes et nos pratiques était inévitable. Le réalignement est-il possible ?

Je me sens très en retrait face à ces questions, et plus généralement face aux inquiétudes que suscite notre dépendance, à nous mathématiciens, par rapport à ces entreprises. Je paie une vingtaine d’euros par mois pour accéder à des LRM. Ces modèles accessibles à tous, et d’autres modèles totalement ouverts, ont déjà des capacités prodigieuses. Que nous n’ayons pas accès au Béhémoth interne d’OpenAI ne me préoccupe pas. À la vitesse où les capacités progressent, je serais très étonné que les prouesses aujourd’hui réservées à des infrastructures hors de prix ne deviennent pas accessibles à tous dans un avenir proche.

Cela ne règle pas la question politique : qui garantira durablement cet accès ? L’Europe doit-elle se doter de ses propres modèles ? Si nous devons investir massivement afin, sur le long terme, de ne pas dépendre du Silicon Leviathan ⁵, comme on désigne le complexe IA-industriel américain, il faut le faire maintenant. Mais cette urgence dépasse le monde des mathématiques : elle concerne la société tout entière et charrie des risques socio-économiques vraiment inquiétants. Et de ce point de vue-là, les choix et surtout les non-choix que nous autres Européens sommes en train de faire m’inquiètent infiniment plus que, par exemple, une présence inopinée de zéros de la fonction Zeta hors de la droite critique ⁶.

Ne pas oublier Euclide

Euclide d’Alexandrie aurait vécu en l’an 300 avant notre ère. L’écriture de ses Éléments est un des actes fondateurs des mathématiques. Or, une grande partie des résultats qu’il contient n’étaient pas nouveaux : la plupart semblaient connus par Eudoxe ou Pythagore.

L’apport central d’Euclide a consisté à choisir les problèmes et à donner un sens au mot « prouver ». Pour cela, il a structuré le savoir existant en l’organisant selon une présentation logique qui clarifiait les raisonnements : postulats, définitions, théorèmes, et démonstrations. Par cette méthode, Euclide produisit des preuves aisément vérifiables à des résultats qui étaient tenus pour vrais, mais n’avaient été que « vaguement prouvés par ses prédécesseurs », nous dit un commentateur ultérieur, Proclus. La méthode et la structure des Éléments sont la trame sur laquelle furent tissées les mathématiques des deux millénaires suivants. La raison de cette longévité est que la méthode utilisée par Euclide est la plus efficace pour comprendre pourquoi les choses sont vraies et le présenter, ce qui est le travail des mathématiciens.

Il existe aujourd’hui des alternatives au cerveau humain pour vérifier que des choses sont vraies ; pas encore pour comprendre. Par exemple, les LRM ont quasiment rendu gratuit l’accès aux langages formels comme Rocq ou Lean, qui permettent, moyennant une syntaxe indigeste, de vérifier rigoureusement si une déduction est valide. Ces langages, avec leur structure en forme de listes de postulats dépouillés et de chaînes de déductions, semblent être l’évolution ultime de la méthode introduite dans les Éléments, mais ils sont encore difficilement interprétables. Leur démocratisation (notamment due aux LRM) est une avancée considérable et nécessaire. Cependant, j’ai l’intime conviction qu’Euclide n’aurait jamais été satisfait par une collection de faits rigoureusement vrais, mais totalement autonomes par rapport à la compréhension que nous, humains, en avons.

D’un point de vue personnel (et psychologique), je me prépare à la possibilité de faire face à une science post-mathématique, immense construction non-humaine produite de façon autonome par des machines, qui existera en dehors de moi et des mathématiques actuelles.

Les anciens maîtres Grecs étaient-ils aussi dans cette attitude ? Mais oui : ils étaient pénétrés de l’intuition selon laquelle les nombres, les figures géométriques ou les planètes étaient des objets autonomes obéissant à des lois cohérentes qu’ils tentaient maladroitement de comprendre. Ce qu’Euclide a fait avec le savoir de son temps, les mathématiciens n’ont jamais arrêté de le faire. Il a créé les conditions permettant à cette science de se développer, il a rendu les mathématiques habitables, il a rendu possible une compréhension structurée et universelle des choses, à l’usage de toutes les autres sciences.

Nous n’avons jamais cessé d’être dans cette posture, même si nous l’avons parfois oubliée.